Versuch P1-12, 22 (Stand: Oktober 2023)
Name: Aichert Vorname: Julius E-Mail: uhoeb@student.kit.edu
Name: Achtner Vorname: Martin E-Mail: urrvl@student.kit.edu
Gruppennummer: Mo01
Betreuer: __________________
Versuch durchgeführt am: __________________
Beanstandungen:
Hinweise zu allen hier durchzuführenden Messungen finden Sie in der Datei Hinweise-Aufgabe-1.md.
Lenken Sie das Pohlsche Rad aus und stellen Sie mit Hilfe des CASSY Datennahmesystems die folgenden Größen geeignet dar:
Zeitlicher Verlauf des Phasenwinkels, ;
Zeitlicher Verlauf der Winkelgeschwindigkeit, ;
Stellen Sie den Schwingungsvorgang in einem Phasenraumportrait dar.
Der Schwingungsvorgang ist auch ohne äußere Dämpfung nicht dämpfungsfrei. Passen Sie ein Modell mit linearer Dämpfung an die Verteilung an und bestimmmen Sie daraus die Eigenfrequenz und die Dämpfung der Schwingung.
Lösung:
Die lineare Dämpfung modellieren wir mit einer Funktion der Form . Zusätzlich bestimmen wir die Eigenfrequenz durch den Peak in der Fourietransformierten. Die Unsicherheit auf ist mit dieser Methode durch die halbe Breite bei halber Höhe gegeben.
Bestimmen Sie das Trägheitsmoment des Drehpendels. Gehen Sie dabei wie folgt vor:
Bestimmen Sie die Winkelrichtgröße der im Pohlschen Rad verbauten Schneckenfeder. Messen Sie hierzu die Winkelauslenkung des Drehpendels (in beiden Drehrichtungen), indem Sie mit Hilfe eines Fadens geeignete Gewichte so an den Zeiger des Pendels anhängen, dass der Faden durch die Randnut bei läuft. Bestimmen Sie aus der Gleichung .
Vergleichen Sie das Ergebnis, im Rahmen seiner Unsicherheiten mit Ihrer Erwartung aus einer einfachen geometrischen Abschätzung.
Lösung:
Wir haben die Auslenkung des Pohlschen Pendels mit drei verschiedenen Gewichten, 5g, 10g, 20g, in beide Richtungen gemessen. Damit konnten wir über Die Federkonstante bestimmen und damit nach obiger Formel das Trägheitsmoment . Die Unsicherheit auf Theta ergibt sich nach dem Fehlerforpflanzungsgesetz.
Über Hinweis bestimmtes Trägheitsmoment: . Wir konnten also einen akzeptablen Wert ermitteln.
Die Drehbewegung des Pohlschen Rads kann durch eine Wirbelstrombremse zusätzlich von außen gedämpft werden.
Bestimmen Sie für mindestens vier verschiedene Ströme der Wirbelstrombremse.
Ermitteln Sie durch Anpassung Ihres Modells aus Aufgabe 1.1 an die aufgezeichneten Daten.
Bestimmen Sie zusätzlich aus dem Dämpfungsverhältnis . Wählen Sie hierzu, je nach Wert von eine geeignete Anzahl von Perioden der Schwingung.
Erwarten Sie eine Abhängigkeit ? Begründen Sie Ihre Antwort und überprüfen Sie sie mit den aufgezeichneten Daten.
Erwarten Sie eine Abhängigkeit ? Begründen Sie Ihre Antwort und überprüfen Sie sie mit den aufgezeichneten Daten. Korrigieren Sie hierzu auf die zuvor bestimmte intrinsische Dämpfung ().
Bestimmen Sie aus dem Verlauf von den Wert von für den der aperiodische Grenzfall eintritt. Vergewissern Sie sich experimentell von der Richtigkeit von .
Berechnen Sie aus und die Güte des Pohlschen Rads.
Wir haben für vier verschiedene Ströme aufgezeichnet. Die Winkelfrequenz wird wie in Aufgabe 1.1 mit der zweiten Möglichkeit über die Fourietransformierte bestimmt.
Die Lambdas ergeben sich zu:
Es existiert eine zweite Möglichkeit, Lambda zu bestimmen: Mit gilt Wobei für gilt:
Der Graph zeigt, dass über beide Methoden Lambda im Rahmen der Unsicherheit den gleichen Wert hat. Bei der zweiten Methode ist die Grenze zwischen schwacher und starker Dämpfung jedoch nicht eindeutig charakterisiert, was zu weiteren hier nicht beachteten Unsicherheiten führen kann. Für den erste Wert wurde hier eine schwache Dämpfung angenommen, für die restlichen eine stärkere. Es denkbar, dass für die Annahme einer schwachen Dämpfung sinnvoll wäre, wir haben uns hier jedoch dagegen entschieden.
Wir erwarten, dass nur geringfügig von dem Dämpfungsstrom abhängt. Mathematisch verschiebt sich die Frequenz zwar: , dies ist jedoch vernachlässigbar klein. Der Effekt wird nur für große relevant, dann jedoch ist die Dämpfung so stark, dass fast keine Schwingung mehr messbar ist. Dies zeigt sich unten durch die große Unsicherheit für große Dämpfungsströme. Man hätte die gemessenen Frequenzen auch mit dem Fit bestimmen können, dann sind die Unsicherheiten jedoch nur sehr klein, was bei großer Dämpfung nicht sehr realistisch ist, da es fast keine messbaren Perioden gibt. Die Fouriertransformation liefert in der Hinsicht ein besseres Ergebniss.
Wir erwarten einen quadratischen Zusammenhang der Frequenz mit dem Bremsstrom . Dies folgt aus der Lenzschen Regel. Um die Abhängigkeit von zu bestimmen, muss diese um die in Aufgabe 1.1 bestimmte lineare Reibung bereinigt werden. Dies geschieht durch eine einfach Subtraktion:
Wir haben gemessen, dass bei I =1,5 +- 0.1A der aperiodische Grenzfall eintrat. Wir können den berechneten Wert also gerade so bestätigen, da sich die Unsicherheiten auf beide Werte überschneiden.
DIe Güte ist definiert als .
Hinweise zu allen hier durchzuführenden Messungen finden Sie in der Datei Hinweise-Aufgabe-2.md.
Nehmen Sie Resonanzkurven für mindestens zwei verschiedene Ströme auf. Diskutieren Sie den Verlauf sowohl der Amplitude , als auch der Phasenverschiebung . Bestimmen Sie hierzu in drei Bereichen:
möglichst weit unterhalb;
möglichst weit oberhalb; und
bei der Resonanzfrequenz.
Vergleichen Sie den Verlauf der gemessenen Resonanzkurven mit Ihrer Erwartung.
Bestimmen und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Ergebnissen aus Aufgabe 1.3.
Die Phase wurde bei den Strömen aufgenommen. Die Phase kann über den arccos der Kovarianz zwischen zwei Schwingungen bestimmt werden, wenn diese vorher mit ihrer Standardabweichung normiert wurden. Um die Frequenz zu bestimmen, bei denen die Daten aufgenommen wurde, werden wieder die Peaks der Fourietransformierten bestimmt.
Das Modell sagt voraus: Dies wird nun mit den gemessenen Daten mittels eines Fits überrprüft.
Es ist anzumerken, dass für beide Ströme in den Fits der Phase, als auch der Amplitude unabhängig der Dämpfungsparameter gefittet wurde. In beiden Messreihen, haben beide Fits innerhalb der Unsicherheit den gleichen Wert für ergeben. Dies weist auf Konsistenz des Modells hin. Die Fits lassen alle darauf schließen, dass das Modell oben akzeptiert werden kann.
Es ist zu erkennen, dass die Güte für große Ströme ungefähr gleich ist, bei kleinen Strömen weicht die Güte jedoch ab, hier ist die neue Güte etwas kleiner, als die alte.
Diskussion:
: Der Phasenunterschied ist sehr klein, d.h. das Pendel schwingt nicht "weit hinter dem Antrieb". Hier ist in beiden Messungen eine kleine, aber nicht verschwindende Amplitude zu messen. Je größer die Phase wird, desto größer wird hier die Amplitude
: Hier gilt . Es ist ein Phasensprung zu beobachten. In einem relativ kleinen Frequenzbereich springt die Phase von auf . Bei dem kleinen Dämpfungsstrom ist ein schärferer Sprung zu beobachten. Die Amplitude steigt auf ihr Maximum bei der Resonanzfrequenz .
: Falls der Phasenunterschied weiter vergrößert wird, so fällt die Amplitude ungefähr exponentiell ab und nähert sich null. Das Pendel schwingt dann gegenphsaig zur antreibenden Kraft mit sehr kleiner / verschwindender Amplitude.
Lösung:
Führen Sie die folgenden Aufgaben für drei verschiedene Widerstände durch:
Stellen Sie und in einer gemeinsamen Abbildung dar.
Bestimmen Sie aus der Resonanzbreite.
Demonstrieren Sie die Resonanzüberhöhung an Spule und Kondensator, indem Sie die Spannungsverläufe an Spule und Kondensator zusammen mit der anliegenden Spannung als Funktion von darstellen.
Bestimmen Sie auch hieraus und vergleichen Sie die ermittelten Werte im Rahmen der sich ergebenden Unsicherheiten.
Stellen Sie dar.
Lösung:
Die Daten werden aus der Datei eingelesen. Maximas, die benötigt werden, werden mit bestimmt.
Um die Güte Q zu bestimmen, wird die volle Breite der Resonanzkurve der Stromstärke auf der Höhe berechnet. Für Q gilt dann
Für die Güte über die Spannungsüberhöhung gilt: . Die Unsicherheit auf wurde auf 20% geschätzt, die Unsicherheit von wurde mit der Funktion bestimmt.
Es ist festzustellen, dass die Güte in den beiden Methoden nur für kleine Werte des Widerstands ungefähr gleich ist, für große Werte sind große Unterschiede festzustellen.